Esperanza Matemática qué es:
La esperanza matemática es una variable aleatoria X, es el número que expresa el valor
medio del fenómeno que representa dicha variable.
También llamado valor esperado, es igual al sumatorio de las probabilidades de que exista un
suceso aleatorio, multiplicado por el valor del suceso aleatorio. Dicho de otra forma, es el valor
medio de un conjunto de datos. Esto, teniendo en cuenta que el término esperanza matemática
está acuñado por la teoría de la probabilidad.
Los nombre de esperanza matemática y valor esperado tienen su origen en los juegos de
azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran
número de apuestas.
Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja
ni para el jugador ni para la banca.
Esperanza Matemática fórmula:
La esperanza matemática se calcula utilizando la probabilidad de cada suceso.
En el caso de una variable discreta, su fórmula es la siguiente:
donde:
i = Periodo en el que se da dicho suceso.
n = Número total de periodos u observaciones.
P = Probabilidad de que ocurra
X = Valor del suceso
En cambio, si la variable es continua X, se define como una integral en términos de la función
de densidad de la variable y, como en el caso discreto, puede interpretarse como el valor medio
de la variable, siempre que exista, cuya función densidad es f(x), y se define como:
En algunos casos, como el lanzar una moneda, la probabilidad de que ocurra todos los sucesos
posibles es igual, en cambio en otros no, esto siempre depende del suceso del que se habla.
¿Para qué se utiliza la esperanza matemática?
La esperanza matemática se utiliza en todas aquellas disciplinas en las que la presencia de
sucesos probabilísticos es inherente a las mismas. Disciplinas tales como la estadística teórica, la
física cuántica, la econometría, la biología o los mercados financieros. Se usa en una gran
cantidad de procesos y sucesos inexactos que ocurren en el mundo.
Una aplicación común de la esperanza matemática es en las apuestas o los juegos de azar. Por
ejemplo, la ruleta francesa tiene 37 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta
a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado).
Por tanto, considerando los 37 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para
apostar a un solo número es:
(-1 * 36/37) + (35 * 1/37)
Que es aproximadamente -0,027027. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 2,7
céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.972973
euros.
Esperanza matemática ejemplos resueltos:
1- Supongamos que en el juego de los dados si sale 1, 2 o 3 pierdo un dólar, si sale un 4 o un 5 no gano nada y si sale 6 gano 2 dólares. ¿Cuánto puedo esperar ganar si juego 100 veces seguidas?
La probabilidad de cada suceso es igual: p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6, p4=1/6, p5=1/6, p6=1/6.
Los valores de los sucesos son: x1 = x2 = x3 = -1, x4 = x5 = 0, x6 = 2
E(x) = -1· 1/6 + -1 ·1/6 + -1 · 1/6 + 0 · 1/6 + 0 · 1/6 + 2 · 1/6 = -1/6 -1/6 -1/6 +2/6 = -1/6
100 · (-1/6) = -100/6 = -16,7 dólares → si se tira el dado 100 veces puedo esperar perder unos
16,7 dólares de media.
2- Sea un juego de mesa en el que al tirar un dado avanzo tantas casillas como salga en el dado.
Se gana al llegar a la casilla 100. ¿Cuántas jugadas se puede esperar necesitar para llegar a la meta?
La probabilidad de cada suceso es igual: p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6, p4=1/6, p5=1/6, p6=1/6.
Los valores de los sucesos son: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6
E(x) = 1· 1/6 + 2 ·1/6 + 3 · 1/6 + 4 · 1/6 + 5 · 1/6 + 6 · 1/6 = 1/6 + 2/6 +3/6 +4/6 + 5/6 + 6/6 = = 21/6 =
3,5 → de media se avanza 3,5 casillas cada vez que se tira el dado
100 casillas / 3,5 casillas cada tirada = 28,6 tiradas de media para llegar a la meta
